本系列的第2节中讲到，系数矩阵 \(A\) 经过消元法变成了 \(U\) 。本节我们将重点研究系数矩阵的分解，即消元矩阵的乘法 \(A=LU\) ，以这种总的思路来审视高斯消元法。
1.考虑例子
\(2\)维矩阵\( A=\begin{bmatrix}2&1\\8&7 \end{bmatrix} \)，用初等矩阵进行行变换
$$ \begin{align} E_{21} \qquad \qquad A &= U\\ \begin{bmatrix}1&0\\-4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&1\\8&7 \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} 2&1\\0&3 \end{bmatrix}
\end{align}
$$
如果要求的形式为 \(A=LU\)
$$ \begin{align} A &=L\qquad \qquad U\\ \begin{bmatrix}2&1\\8&7 \end{bmatrix}&= \qquad \qquad \begin{bmatrix} 2&1\\0&3 \end{bmatrix}
\end{align}
$$
那么，\(L\) 就是 \(E_{21} \) 的逆阵，\( L=E_{21}^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\4&1 \end{bmatrix} \)
\(A=LU\) ，这里 \(L\) 表示下三角阵，\(U\) 表示上三角阵。
我们可以进一步把主元分离出来，得到
$$ \begin{align}
A &=L\qquad \qquad U\\
\begin{bmatrix}2&1\\8&7 \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}1&0\\4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&1\\0&3 \end{bmatrix}\\
\\
A &=L\qquad \qquad D \qquad \qquad U\\
\begin{bmatrix}2&1\\8&7 \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}1&0\\4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&0\\0&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&\frac 12\\0&1 \end{bmatrix}
\end{align}
$$
两边各 \(1\) 个三角阵，中间 \(1\) 个对角阵。
\(3\)维的例子（假设没有行互换）：
$$ \begin{align}
E_{32}E_{31}E_{21}A &= U\\
A &= E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1} U\\
A &=LU
\end{align}
$$
可见，对于 \(A=LU\) ，如果不存在行互换，消元乘数可以直接综合成 \(L\)
这样，以矩阵的形式来看待消元的过程，可以对消元进行更深刻的认识。
2.置换（Permutations）
置换矩阵可以用来进行行互换
\(3\) 维的例子，互换单位阵两行的情况：（\(6\)种）
\( \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0 \end{bmatrix}，
\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0 \end{bmatrix}，
\)
这 \(6\) 个矩阵构成的矩阵群中
两两相乘，结果还是在这 \(6\) 个之中，因为是进行的行互换；
它们各自的逆阵，也在这 \(6\) 个之中，因为也是进行的行互换，换回单位阵
\(4\)维情况下，将有 \(24\) 种置换阵，
更多维的情况，同理可得出相应的结果。