线性代数是大学数学的基本课程之一，也是考研数学的内容，在高中的数学课里也有部分涉及，其重要性不需多言。这里记录下线性代数的学习过程，就当是这门课程的学习笔记吧。这里我们从方程组入手。
常见教材如同济版，是从行列式开始。但是这里，我们要换一个路径——从方程组开始。
例1：考虑二元一次方程组
$$\begin{array} &2x&-&y&=&0\\-x&+&2y&=&3\end{array}$$
写成矩阵的形式
$$\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\3\end{bmatrix}$$
AX=b
A：系数矩阵，X：未知数向量
解这个方程组可以分别从两个角度考虑：
一是从行的角度。每一行代表了二维平面上的一条直线，那么这个方程组的两行，所代表的两条直线的交点（1,2），就是这个方程组的解。
另一个是从列的角度考虑。
可以把原方程组写成下面的形式
$$x\begin{bmatrix} 2 \\ -1\end{bmatrix} +y \begin{bmatrix} -1 \\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\3\end{bmatrix}$$
这样就把问题转化成了，要找到正确的线性组合方式
把$$\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} 这两个向量，通过线性组合得到\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$$
可以验证x=1,y=2是恰好满足的。
找到正确的线性组合（linear combination），是贯穿课程始终的基本方法。
对于这个例题而言，通过所有 x 和 y 的组合，可以得到任一2维的向量。任一 2维的向量，从几何方面的反映即是可以布满整个2维坐标平面。
那么，对于任意的右侧向量 b ，是否都有解呢？
或者换一种表述，对任意b，是否都能求解 AX=b ？
我们从线性组合的角度描述这个问题：n个列向量的线性组合是否能够覆盖整个n维空间 ？
考虑2维的情况，如果是共线的两个向量，那么不管他们两个怎么组合，都得不出线外的向量。
同样3维的情况下，处于同一平面的3个向量，不管怎么组合，都得不出平面外的向量。
可以看出，这个问题的本质是，各向量的独立性。
n维情况下，对于AX=b是否总能有解，即是否总能通过AX得到b？
如果不是相互独立的列向量，这样b就不是总能求得。
有一个向量非独立，那么解就不能覆盖整个n维空间。
如果是n个相互独立的向量，它们的线性组合则可以覆盖整个n维空间。
需要关注到的另一个情况：矩阵乘以列向量的方法，按照上面行的角度和列的角度，有两种。
一种就是矩阵的每一行点乘列向量。这是我们在教材里常见的方法。
另一种就是从列的角度，通过每列的线性组合得出目标矩阵。这是本学习随笔强烈推荐的方法，之后我们遇到矩阵运算的时候，要有意识用这个方法去考虑问题