本篇文章主要介绍矩阵乘法，Gauss-Jordan法求逆阵。
一、矩阵乘法的四种方式
1.元素法
\(\begin{align}\begin{bmatrix}\cdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\vdots \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} \cdot \end{bmatrix} \\
A \qquad B &= C
\end{align}
\)
Cij 例
\( \begin{align} C_{34}&=(row \; 3 \; of \; A)\cdot(column \; 4 \; of \; B)\\&=a_{31}b_{14}+a_{32}b_{24}+\ldots\ldots\\&=\sum_{k=1}^n a_{3k}b_{k4}\end{align} \)
2.列方法
\(\begin{align}\begin{bmatrix}\cdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\vdots \vdots \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} \cdot \cdot \end{bmatrix} \\
A_{m \times n} \, B_{n \times p} &= C_{m \times P}
\end{align}
\)
C中各列是A中各列的线性组合。
3.行方法
\(\begin{align}\begin{bmatrix}\cdots \\ \cdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\vdots \, \vdots \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} \cdot \, \cdot \\ \cdot \, \cdot \end{bmatrix} \\
A_{m \times n} \, B_{n \times p} &= C_{m \times P}
\end{align}
\)
C中各行是B中各行的线性组合。
4.列乘以行的方法
\( \begin{align} AB=Sum\;of\; (columns\;of\;A)\cdot(rows\;of\;B) \end{align} \)
AB等于A的各列与B各行乘积之和。
例：
\(\begin{align}\begin{bmatrix}2&7 \\ 3&8\\4&9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&6\\0&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\3\\4\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 7\\8\\9\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0\end{bmatrix}
\end{align}
\)
另：矩阵的分块乘法（Block multiplication）
\( \left[ \begin{array}{c|c} A_1 & A_2 \\ \hline A_3 & A_4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c|c} B_1 & B_2 \\ \hline B_3 & B_4 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c|c} A_1 B_1+A_2B_3 & \cdots \\ \hline \cdots & \cdots \end{array} \right] \)
二、Gauss-Jordan法求逆
方阵（square matrices）才可能存在逆阵，但不是所有方阵都有逆阵。
如果矩阵A可逆，则称矩阵A是可逆的（invertible）或称非奇异的（nonsingular），
其逆阵有：
\( A^{-1}A=I=AA^{-1} \)
即左逆阵和右逆阵是相等的。
奇异矩阵的情况（singular case，no inverse）：
例：
\( A=\begin{bmatrix}1&3\\2&6 \end{bmatrix} \)
其行列式等于0
另外一种特征表述：如果存在非零向量X，使得AX=0，那么矩阵A就是奇异的（或称不可逆的）。
奇异矩阵，它的列是线性相关的，能通过线性组合得到0.
非奇异矩阵的情况：
例：
\(\begin{align}\begin{bmatrix}1&3\\2&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&c\\b&d \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix} \\
A \qquad \qquad A^{-1} &= I
\end{align}
\)
求逆和解两个方程组是一回事
\( A \times column \, j \, of \, A^{-1}=column \, j \, of \, I \)
这基本上回到了Guass消元法解方程组的问题。现在用“Guass-Jordan”方法考虑解决，此方法能同时处理多个方程组。
Gauss-Jordan 方法：
构建增广矩阵
\( \left[ \begin{array} {cc|cc} 1&3&1&0\\2&7&0&1\end{array} \right] \)
用消元法，左侧A变为单位阵，同时右侧就得到了A的逆阵
\( \left[ \begin{array} {cc|cc} 1&3&1&0\\2&7&0&1\end{array} \right] \to \left[ \begin{array} {cc|cc} 1&3&1&0\\0&1&-2&1\end{array} \right] \to \left[ \begin{array} {cc|cc} 1&0&7&-3\\0&1&-2&1\end{array} \right] \)
这可以用消元法的矩阵形式考虑
若E是消元的初等矩阵，则有
\( E \begin{bmatrix} A&I \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I&A^{-1} \end{bmatrix} \)
即：\( 若EA=I，则E=A^{-1}，所以EI=A^{-1} \)