这一节写置换矩阵和矩阵的转置，并开始探讨向量空间。用向量空间进行更深层次的探讨，才是进入了线性代数的大门，才是线性代数这门课程的核心。
一、置换矩阵
置换矩阵，记作P（permutations)，是用来完成行互换的矩阵（those are matrices P and they execute row exchanges），其本身是行重新排列了的单位阵。
\( A=LU \to PA=LU \qquad \) 通过行互换，把主元调为不为0
对于任意可逆阵A，都有这种形式。
n阶置换矩阵，所有可能的形式共有\( \quad n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1=n! \quad \)种
且所有置换矩阵都可逆，其逆阵与其转置相等。\( P^{-1}=P^{T}\)
二、矩阵的转置
转置的公式（Transpose）：\( \quad (A^{T})_{ij}=A_{ji} \)
例如：\( R=\begin{bmatrix}1&3\\2&3\\4&1 \end{bmatrix} \quad R的转置R^{T}=\begin{bmatrix}1&3\\2&3\\4&1 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}1&2&4\\3&3&1 \end{bmatrix}\)
对称矩阵（symmetric matrices）：\(A^{T}=A \)，例如：\(\begin{bmatrix}3&1&7\\1&2&9\\7&9&4 \end{bmatrix}\)
所有的\(R^{T}\)乘以\(R\)得到的都是对称阵。\( R^{T}R \; \)is always symmetric.
\( (R^{T}R)^{T}=R^{T}R^{TT}=R^{T}R \quad\)所以是对称阵
三、向量空间（vector spaces），子空间（sub-spaces）
向量的两种基本运算：加法和数乘
空间（spaces)：表示有很多向量，一整个空间的向量，a space of vectors
例：
\( R^{2}=all \, 2-dim\, real\, vectors\\ \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}\pi\\e\end{bmatrix} \cdots \\ =x-y\;plane \\\)
\( R^{3}=all \; column\; vectors\; with\; 3\; real\; components\\ \)
\( R^{n}=all \; column\; vectors\; with\; n\; real\; components\\ \)
向量空间的性质：对加法和数乘两种运算是封闭的，或者说对线性组合是封闭的。
以\(R^{2}\)为例（对\(R^{n}\)也同样成立）：
两两相加，仍然在\(R^{2}\)中
数乘某向量，仍然在\(R^{2}\)中
线性组合，仍然在\(R^{2}\)中
\(R^{2}\)的子空间：
\(R^{2}\)
过\(0\)点的直线\(L\)
\(0\)点本身\(\begin{bmatrix}0\\0 \end{bmatrix}\)
\(R^{3}\)的子空间：
\(R^{3}\)
过\(0\)点的直线\(L\)
过\(0\)点的平面\(P\)
\(0\)点本身\(\begin{bmatrix}0\\0\\0 \end{bmatrix}\)
矩阵构成子空间的情况：
例：\( A=\begin{bmatrix}1&3\\2&3\\4&1 \end{bmatrix} \quad \)
columns in \(R^{3}\) ,all their combinations form a subspace called column space C(A)
这一节的核心思想是通过某些向量构成一个由向量组成的空间。