本篇文章将介绍线性代数中几个处于核心地位的概念：线性相关（Linear Dependence）、线性无关（Linear Independence），以及向量所生成（Span）的空间。在此基础上，还会引出一个子空间或向量空间的基（Basis）以及该空间的维数（Dimension）。
首先需要明确术语的严谨性：我们会说“一组向量（或向量组）是线性无关的”，但不会说“一个矩阵是线性无关的”；“一组向量”可以生成一个空间，或构成该空间的一组基；而“维数”则是一个具体的数值。
1. 矩阵的零空间与自由变量
考察矩阵 \(A\) 及齐次线性方程组 \(Ax = 0\) 。假设矩阵 \(A\) 有 \( m\) 行 \(n\) 列，且列数 \( n\) 大于行数 \( m\)。这意味着在方程组中，未知数的数量多于方程的数量。
可以推断，在矩阵 \( A\) 的零空间（Null Space）中，除了零向量以外必然存在其他非零向量。换言之，方程组 \( Ax = 0\) 必然存在非零解。
对此，可以通过高斯消元法进行解释：将矩阵化为阶梯形式后，矩阵的列可以分为包含主元的主元列，以及不包含主元的自由列。由于未知数 \( n\) 多于最多可能的主元数 \( m\)，因此必然会剩下 \(n-m \) 个自由变量。
对方程组求解时，只需对这些自由变量赋予非零值（比如设为 1），再代入方程组解出主变量，即可求出 \( Ax = 0 \) 的非零解。这是线性代数中的一个重要结论。
2. 向量组的线性无关性
给定 \( n\) 个向量 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) ，如何判定它们是线性相关还是线性无关的？
定义：在向量空间中对一组向量进行线性组合。如果存在不全为零的系数 \(c_1, c_2, \dots, c_n\) ，使得该组合的结果为零向量，即：
\(c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n = 0\) 那么这组向量就是线性相关的。
反之，如果没有任何非零组合能得出零向量，换句话说，要使上述等式成立的唯一条件是所有系数全为零，
即 \(c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0\) （称为“零组合”），那么这组向量就是线性无关的。
例1：二维空间中成比例的向量
假设存在向量 \( v\) 和向量 \( 2v\) 。
它们显然是线性相关的，因为第一个向量的两倍减去第二个向量即可得到零向量
\(2 \cdot v – 1 \cdot (2v) = 0 \)
这正是一种得到零向量的非零组合。
例2：包含零向量的向量组
假设有一个非零向量 \( v_1\) 和一个零向量 \( v_2\) 。
它们必然是线性相关的，因为对于组合 \( c_1v_1 + c_2v_2 = 0\) ，只需令 \(c_1 = 0\) 且赋予 \(c_2\) 任意非零值，即可满足条件。
推而广之，如果一组向量中包含零向量，那么这组向量必然是线性相关的。
例3：二维空间中的三个向量
在二维平面中，任意取两个不共线的向量 \(v_1\) 和 \(v_2\) ，它们是线性无关的，因为除了零组合以外没有任何组合能等于零向量。
但如果在该平面中引入第三个向量 \(v_3\) ，那么这三个向量必然是线性相关的。
原因可以结合前文的矩阵理论来解释： 构造一个 \(2 \times 3\) 的矩阵 \(A\) ，将其列向量分别设为 \(v_1, v_2, v_3\) 。由于列数 \(3\) 大于行数 \(2\) ，在求解 \(Ax = 0\) 时必然存在自由变量。
因此零空间中包含非零元素，即存在非零向量 \( c = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}\) ，这意味着这三个列向量存在非零组合使其结果为零，故它们是线性相关的。
从矩阵和秩的角度理解：
我们可以将一组列向量放入一个矩阵中，将判断“向量组相关性”的问题转化为研究“矩阵零空间”的问题。
- 如果矩阵 \(A\) 的零空间仅包含零向量，说明不存在非零组合能得到零向量，这些列向量是线性无关的。此时，矩阵的秩 \(r\) 等于列数 \(n\)（即列满秩），矩阵的所有列均为主元列，不存在自由变量。
- 如果矩阵 \(A\) 的零空间中存在非零向量 \(c\) 使得 \(Ac = 0\) ，说明列向量存在非零组合能得到零向量，它们是线性相关的。此时秩 \(r < n\) ，矩阵中存在自由列（自由变量）。
3. 生成空间
“生成（Spanning）”一个空间，指的是由一组向量,如 \(v_1, v_2, \dots, v_l\) 的所有可能线性组合所构成的集合。
例如，一个矩阵的所有列向量的线性组合，构成了该矩阵的列空间。因此可以简述为：矩阵的列生成了它的列空间。
由一组向量生成的空间，本质上是包含这组向量的“最小”空间。
需要注意的是，生成某个空间的向量组可能是线性无关的，也可能是线性相关的。
但在数学上，我们更关注的是一组数量恰好、且既能生成该空间又线性无关的向量组。
4. 基 (Basis)
如果一组向量满足“刚好足够”的条件，既没有冗余，又足以生成整个空间，我们就称其为空间的基。
定义：向量空间的一组基，是满足以下两个基本属性的向量序列：
- 它们是线性无关的。
- 它们生成该空间。
关于基的实例：
以三维实数空间 \( \mathbb{R}^3\) 为例。
最直观的一组基是标准基，它们对应于单位矩阵的列。
$$ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$
这三个向量显然是线性无关的，并且能够生成整个 \(\mathbb{R}^3 空间\) 。
基并非唯一的
任意给定两个线性无关的三维向量，例如 \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix} \) ，它们能否构成\( \mathbb{R}^3 \) 的基？
答案是否定的。虽然它们线性无关，但它们只能生成三维空间内部的一个二维平面，无法生成整个 \(\mathbb{R}^3\) 空间（当然，它们可以作为其所生成平面的基）。
如果我们在其中随意加入第三个向量，比如 \(\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix}\) ，刚好是前两个向量的和向量，那么这三个向量会变得线性相关，依然无法构成 \(\mathbb{R}^3\) 的基。
但如果我们加入的是一个不在该平面内的向量，比如 \(\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 8 \end{bmatrix}\) ，那么这三个向量既线性无关，又能生成 \(\mathbb{R}^3\) ，它们就构成了 \(\mathbb{R}^3\) 的新的一组基。
检验方阵列向量是否构成基的标准
在 \(\mathbb{R}^n\) 空间中，如果给定 \(n\) 个向量，检验它们是否构成基的方法是将它们作为列向量，构成一个 \(n \times n\) 的方阵。当且仅当该方阵可逆时，这些列向量才构成 \(\mathbb{R}^n\) 空间的一组基。
5. 维数 (Dimension)
如前所述，一个空间拥有无数种可能的基。但所有的基都有一个共同点：给定空间的每一组基，都必然包含相同数量的向量。
在 \(\mathbb{R}^3\) 中，基的向量个数永远是 \(3\) ；在 \(\mathbb{R}^n\) 中，个数永远是 \(n\) 。
如果针对某个特定的空间，比如某个矩阵的列空间或零空间，如果它的一组基包含 \(6\) 个向量，那么它的任何其他基也必然包含 \(6\) 个向量。
这个数量代表了该空间的大小：多于这个数量的向量组必定线性相关，少于这个数量的向量组无法生成整个空间。这个唯一不变的数量，被称为空间的维数（Dimension）。
6. 综合实例分析
为了巩固上述概念，我们对如下矩阵 \(A\) 及其列空间和零空间进行分析：
$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$
注意，矩阵的第三列是前两列的和，第四列与第二列相同。
列空间分析： 这四个列向量生成了矩阵的列空间。但它们并非列空间的基，因为它们显然是线性相关的，例如 \( c_1 + c_2 – c_3 = 0 \) 。
要寻找列空间的基，最自然的选择是选取主元列，即第一列和第二列。它们线性无关，且能生成列空间。
矩阵的主元列数量为 \(2\) ，因此矩阵的秩 \(r = 2\) 。
在这里可以得出一个关键结论：矩阵 \(A\) 的秩（主元列的数量），等于其列空间的维数。（注意术语的使用：秩是针对矩阵而言的，而维数是针对空间而言的。）
列空间的基并不唯一。除了第一和第二列，还可以选取第一和第三列、第二和第三列，甚至是列空间中其他不直接来源于矩阵的线性无关向量，比如选取两个分别位于列空间中的组合向量。只要该空间维数已知为 \(2\) ，任意两个属于该空间且线性无关的向量，就能成为它的一组基并生成全空间。
零空间分析： 零空间由所有满足 \(Ax = 0\) 的解向量 \(x\) 构成。 由于第三列是第一列与第二列之和，故零空间中存在一个解向量 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}\) 。
由于第四列与第二列相同，我们令第四列对应的自由变量为 \(1\) ，其他自由变量为 \(0\) ，可以得到另一个解向量，由第四列与第二列相减得 \(0\) ，这反映了自由变量带来的特解。
这两个通过自由变量求得的特解是线性无关的，它们的所有线性组合构成了整个零空间，因此这两个特解构成了零空间的一组基。
由此得出另一个关键结论：零空间的维数，等于自由变量的数量。 用公式表达，若矩阵有 \(n\) 列，秩为 \(r\) ，即有 \(r\) 个主元变量，则自由变量的数量为 \(n – r\) 。因此，零空间的维数等于 \(n – r\) 。